DERET GEOMETRI

 

MENENTUKAN RUMUS JUMLAH n SUKU PERTAMA PADA DERET GEOMETRI

Pak Rapni adalah seorang peternak telur ayam di Desa Tengah Padang, pada awal membuka peternakan pada bulan Januari tahun 2015 pak Rapni hanya menghasilkan 20 telur ayam saja. Karena mendapat bantuan dari pemerintah, peternakan pak Rapni dapat berkembang pesat, sehingga pada bulan februari 2015 ia menghasilkan 2 kali lipat telur ayam yaitu 40 telur. Bulan maret 2015 pak Rapni berhasil mengumpulkan 80 telur ayam. Pada bulan-bulan berikutnya bisnis peternakan pak Rapni terus berkembang dan jumlah telur ayam selalu bertambah dua kali lipat dari bulan sebelumnya. Berapakah total telur ayam yang pernah dihasilkan pak Rapni dari Januari 2015 sampai dengan Februari 2016 ?

Bagaimana cara menentukan total seluruh telur ayam yang pernah dihasilkan oleh pak Rapni sejak Januari 2015 sampai dengan Februari 2016?

Dari permasalahan diatas kita ketahui bahwa :

Hasil panen telur pada Januari 2015 = 20 telur

Hasil panen telur pada Februari 2015 = 40 telur

Hasil panen telur pada Maret 2015 = 80 telur

Hasil panen telur pada April 2015 = 160 telur

Jika mengikuti pola tersebut maka akan kita dapat bahwa setiap bulan hasil panen pak Rapni meningkat sebanyak dua kali lipat, sehingga apabila seluruh telur kita jumlahkan akan membentuk pola berikut ini :

U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + … = 20 + 40 + 80 + 160 + …

S_n = a + a.r¹ + a.r² + a.r³ + a.r⁴ + …  + a.r^n-1

S_n = a (1 + r¹ + r² + r³ + r⁴ + …  + r^n-1)

Untuk menemukan rumus umum jumlah n suku pertama pada deret geometri kita membutuhkan sebuah persamaan baru agar bentuk persamaan diatas menjadi lebih sederhana.

Mari kita kalikan bentuk diatas dengan “r” untuk menemukan rumus S_n!

{ S_n = a (1 + r¹ + r² + r³ + r⁴ + …  + r^n-1) } x r

rS_n = a.r (1 + r¹ + r² + r³ + r⁴ + …  + r^n-1)

rS_n = a (r + r² + r³ + r⁴ + r⁵ + …  + rⁿ)

Kurangi bentuk r.S_n dengan S_n  untuk mengeliminasi beberapa suku :

{ rS_n = a (r + r² + r³ + r⁴ + r⁵ + …  + rⁿ) } – S_n

rS_n - S_{n =} a (r + r² + r³ + r⁴ + r⁵ + …  + rⁿ) - a (1 + r¹ + r² + r³ + r⁴ + …  + r^n-1)

S_n ( r – 1 ) = a (r + r² + r³ + r⁴ + r⁵ + …  + rⁿ – 1 - r¹ - r² - r³ - r⁴ - …  - r^n-1) 

Berdasarkan uraian tersebut kita ketahui bahwa setiap setiap suku sejenis memiliki tanda berlawanan sehingga akan menghasilkan angka 0, sehingga membentuk rumusan berikut ini :

S_n ( r – 1 ) = a (r – r + r² – r² + r³ - r³ + r⁴ – r⁴ +  …+ r^n-1 – r^n-1 + rⁿ – 1)

S_n ( r – 1 ) = a (rⁿ – 1)

CATATAN PENTING !

Bentuk terakhir rumus diatas merupakan rumus umum deret geometri yang memiliki suku pertama a dan rasio r dengan

r > 1 dan r < -1. Sedangkan untuk deret geometri yang memiliki suku pertama a dan rasio -1 < r < 1, rumus deret geometrinya adalah sebagai berikut :

Jadi, kita dapat menentukan total seluruh telur ayam yang pernah dihasilkan oleh pak Rapni sejak Januari 2015 sampai dengan Februari 2016 menggunakan rumus Sn pada deret geometri dengan r > 1.

UNTUK LEBIH MEMAHAMI TENTANG DERET GEOMETRI, YUK SIMAK VIDEO BERIKUT INI :