DERET GEOMETRI

-

 

MENENTUKAN RUMUS JUMLAH n SUKU PERTAMA PADA DERET GEOMETRI


Pak Rapni adalah seorang peternak telur ayam di Desa Tengah Padang, pada awal membuka peternakan pada bulan Januari tahun 2015 pak Rapni hanya menghasilkan 20 telur ayam saja. Karena mendapat bantuan dari pemerintah, peternakan pak Rapni dapat berkembang pesat, sehingga pada bulan februari 2015 ia menghasilkan 2 kali lipat telur ayam yaitu 40 telur. Bulan maret 2015 pak Rapni berhasil mengumpulkan 80 telur ayam. Pada bulan-bulan berikutnya bisnis peternakan pak Rapni terus berkembang dan jumlah telur ayam selalu bertambah dua kali lipat dari bulan sebelumnya. Berapakah total telur ayam yang pernah dihasilkan pak Rapni dari Januari 2015 sampai dengan Februari 2016 ?

Bagaimana cara menentukan total seluruh telur ayam yang pernah dihasilkan oleh pak Rapni sejak Januari 2015 sampai dengan Februari 2016?

Dari permasalahan diatas kita ketahui bahwa :

Hasil panen telur pada Januari 2015 = 20 telur

Hasil panen telur pada Februari 2015 = 40 telur

Hasil panen telur pada Maret 2015 = 80 telur

Hasil panen telur pada April 2015 = 160 telur

Jika mengikuti pola tersebut maka akan kita dapat bahwa setiap bulan hasil panen pak Rapni meningkat sebanyak dua kali lipat, sehingga apabila seluruh telur kita jumlahkan akan membentuk pola berikut ini :

U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … = 20 + 40 + 80 + 160 + …

Sn = a + a.r1 + a.r2 + a.r3 + a.r4 + …  + a.rn-1

Sn = a (1 + r1 + r2 + r3 + r4 + …  + rn-1)

Untuk menemukan rumus umum jumlah n suku pertama pada deret geometri kita membutuhkan sebuah persamaan baru agar bentuk persamaan diatas menjadi lebih sederhana.

Mari kita kalikan bentuk diatas dengan “r” untuk menemukan rumus Sn!

{ Sn = a (1 + r1 + r2 + r3 + r4 + …  + rn-1) } x r

rSn = a.r (1 + r1 + r2 + r3 + r4 + …  + rn-1)

rSn = a (r + r2 + r3 + r4 + r5 + …  + rn)

Kurangi bentuk r.Sn dengan Sn  untuk mengeliminasi beberapa suku :

{ rSn = a (r + r2 + r3 + r4 + r5 + …  + rn) } – Sn

rSn - Sn = a (r + r2 + r3 + r4 + r5 + …  + rn) - a (1 + r1 + r2 + r3 + r4 + …  + rn-1)

Sn ( r – 1 ) = a (r + r2 + r3 + r4 + r5 + …  + rn – 1 - r1 - r2 - r3 - r4 - …  - rn-1) 

Berdasarkan uraian tersebut kita ketahui bahwa setiap setiap suku sejenis memiliki tanda berlawanan sehingga akan menghasilkan angka 0, sehingga membentuk rumusan berikut ini :

 
Sn ( r – 1 ) = a (r – r + r2 – r2 + r3 - r3 + r4 – r4 +  …+ rn-1 – rn-1 + rn – 1)

Sn ( r – 1 ) = a (rn – 1)

CATATAN PENTING !

Bentuk terakhir rumus diatas merupakan rumus umum deret geometri yang memiliki suku pertama a dan rasio r dengan

r > 1 dan r < -1. Sedangkan untuk deret geometri yang memiliki suku pertama a dan rasio -1 < r < 1, rumus deret geometrinya adalah sebagai berikut :


Jadi, kita dapat menentukan total seluruh telur ayam yang pernah dihasilkan oleh pak Rapni sejak Januari 2015 sampai dengan Februari 2016 menggunakan rumus Sn pada deret geometri dengan r > 1.

UNTUK LEBIH MEMAHAMI TENTANG DERET GEOMETRI, YUK SIMAK VIDEO BERIKUT INI :


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

BARISAN ARITMATIKA

-
Gambar
  MENENTUKAN RUMUS SUKU KE-n PADA BARISAN ARITMATIKA Perusahaan A akan membuat sebuah piramida kaca dengan desain seperti gambar diatas. Apabila kaca di tingkat paling bawah berjumlah 108 kaca, di tingkat kedua terdapat 106 kaca, dan di tingkat ketiga berjumlah 104 kaca.  Berapa kaca yang dibutuhkan pada tingkat ke 24  ? Bagaimana cara menentukan jumlah kaca yang dibutuhkan pada tingkat ke 24 pada piramida kaca yang akan dibuat oleh perusahaan A ? Apakah jumlah kaca pada tingkat ke 24 dapat dihitung tanpa mengurangi jumlah kaca satu persatu pada setiap tingkat ? Dari permasalahan diatas kita ketahui bahwa : Jumlah kaca pada tingkat paling bawah = 108 Jumlah kaca pada tingkat kedua = 106 Jumlah kaca pada tingkat ketiga = 104 U 3 = 108 - 2 - 2 = 104 U 4 = 108 – 2 – 2 - 2 = 102 U n = a – 2 – 2 – 2 – 2 – 2n Mari kita lihat kembali, ada berapa kalikah pengurangan dengan angka 2 pada setiap tingkat piramida kaca ? U 3 = 108 - 2 -
Baca selengkapnya

DERET ARITMATIKA

-
Gambar
  MENENTUKAN RUMUS JUMLAH n SUKU PERTAMA PADA DERET  ARITMATIKA Dina dan Dini adalah saudara kembar, mereka berusia 5 tahun dan sedang bermain bersama “menyusun kubus bertingkat”. Awalnya Dina menyusun 5 buah kubus, kemudian dilanjutkan oleh Dini Menyusun 7 buah kubus disebelahnya, kemudian Dina menyusun 9 kubus disebelah susunan yang dibuat oleh Dini , begitu seterusnya mereka ulangi. Ternyata kubus mereka habis setelah mereka menyusun kubus sebanyak 26 kali. Berapakah total kubus yang sudah di susun oleh dua saudari kembar tersebut ?  Bagaimana cara menentukan jumlah keseluruhan kubus yang sudah disusun oleh Dina dan Dini ? Apakah jumlah seluruh kubus bisa dihitung tanpa menghitung jumlah kubus pada susunan itu satu persatu ? Dari permasalahan diatas kita ketahui bahwa : Jumlah susunan kubus pertama oleh Dina = a = 5 Jumlah susunan kubus kedua oleh Dini = 7 Jumlah susunan kubus ketiga = 9 Susunan 1 = U1 = a = 5 Susunan 2 = U2 = 7
Baca selengkapnya